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天使與魔鬼
  • 科展類別 : 全國中小學科展作品
  • 屆  次 : 第49屆--民國98年
  • 科  別 : 數學科
  • 得獎情形 : 第三名
  • 學校名稱 : 臺北縣樹林市大同國民小學
  • 指導老師 : 顏榮皇;李海國
  • 作  者 : 顏嘉佑
  • 關 鍵 字 : 二進位法;唯一性;區間極值
  • 備  註 :
摘要或動機

2008 年環球數學競賽秋季賽有一道題目如下所示:在無窮數列{a(n)},a(0)=0,若n 的最大奇因數除以4 餘數為1,則a(n)=a(n-1)+1,若n 的最大奇因數除以4 餘數為3,則a(n)=a(n-1)-1。此數列的首幾項為:0、1、2、1、2、3、2、1、2、3、4、3、2、3、2、1、…。(a) 證明在此數列中,1 將出現無窮多次(b) 證明在此數列中,每一個正整數將出現無窮多次。因a(2k-1-1)=1。數列{a(n)}定義2k-1≦n≦2k-1 為第k 區間。網路上有第k 區間a(n)=k 的存在性證明。本研究特色在於二進位法找出a(n)表示法,證明第k 區間a(n)=k 唯一性。為了延伸研究,定義數列{dp(n)},討論質數p 為情況下,猜測數列{dp(n)}第k區間極值、比較出現次數分佈對稱性、數列{d2(n)}降階關係。為了定義統一,本研究從前言起,以數列{d2(n)}代替競賽題目提到的數列{a(n)}。



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